Robert est un participant assidu du congr\u00e8s de math\u00e9matiques appliqu\u00e9es de Tournedos-sur-C\u00f4te-d’Amour. Citoyen d’un canton voisin et professeur \u00e0 la retraite, il adore chaque ann\u00e9e venir fl\u00e2ner dans les couloirs du Z\u00e9nith de Tournedos (et oui, encore un Z\u00e9nith !), assister aux conf\u00e9rences vari\u00e9es et diverses se tenant dans le grand auditorium et ses annexes et y retrouver ses coll\u00e8gues comme on retrouve d’un \u00e9t\u00e9 sur l’autre ses voisins de camping. Mais il aime probablement par-dessus tout se joindre \u00e0 la foule qui se presse le dernier jour devant le grand buffet offert par la mairie pour c\u00e9l\u00e9brer les laur\u00e9ats du prix Euler de Tournedos. Le champagne a pour habitude de couler \u00e0 flots au cours de cette soir\u00e9e mais Robert consomme toujours avec mod\u00e9ration le p\u00e9tillant breuvage, se limitant \u00e0 une seule coupe, et ce sans faillir depuis plus de dix ann\u00e9es. Il pousse m\u00eame la coquetterie jusqu’\u00e0 calculer exactement le volume de boisson p\u00e9tillante qu’on lui offre. Pour ce faire, il se munit chaque ann\u00e9e d’un double d\u00e9cim\u00e8tre et d’une olive verte dont il a pris soin de mesurer le volume \u00e0 l’aide d’une \u00e9prouvette gradu\u00e9e.<\/p>\n
Une fois que l’un des nombreux serveurs, par ailleurs tous tir\u00e9s \u00e0 quatre \u00e9pingles, lui a remis une coupe de champagne, il y glisse discr\u00e8tement son olive et mesure la variation de hauteur qui en r\u00e9sulte. Cette ann\u00e9e, son olive avait un volume de 5 cm3<\/sup> et le champagne s’est vu rehauss\u00e9 de 4 mm. Sachant que le profil des coupes suit l’\u00e9quation y = \u221a<\/span>|x| (une information confidentielle obtenue du fabricant apr\u00e8s moult n\u00e9gociations), il en a d\u00e9duit imm\u00e9diatement que le volume qu’il avait consomm\u00e9 \u00e9tait de 0,5 cm3<\/sup>. Comment a-t-il proc\u00e9d\u00e9 ?<\/p>\n Puis en consid\u00e9rant que h2<\/sub> = h1<\/sub> + 0,4, il s’ensuit, gr\u00e2ce \u00e0 notre ami Pascal\u00a0:<\/p>\n Une expression dont nos amis informaticiens appr\u00e9cieront les coefficients Nous sommes donc amen\u00e9s \u00e0 r\u00e9soudre une \u00e9quation du quatri\u00e8me degr\u00e9 ax4<\/sup> + bx3<\/sup> + cx2<\/sup> + dx + e = 0. La m\u00e9thode de Ferrari nous apprend qu’il faut commencer par poser le changement de variable\u00a0:<\/p>\n Ceci nous ram\u00e8ne en effet \u00e0 l’\u00e9quation :<\/p>\n Un terme en moins, cela fait toujours plaisir Arriv\u00e9 \u00e0 cette \u00e9tape, on cherche les solutions de l’\u00e9quation interm\u00e9diaire\u00a0(nous en verrons la raison quelques lignes plus bas) :<\/p>\nAfin de percer son secret, commen\u00e7ons par fixer quelques notations. Ainsi, sur le sch\u00e9ma ci-contre, on se d\u00e9finit un axe vertical (Ox) ayant pour origine le fond de la coupe et on consid\u00e8re les hauteurs h1<\/sub> et h2<\/sub> avant et apr\u00e8s l’introduction de l’olive et on note \u0394<\/span>V la variation de volume correspondante. On voit imm\u00e9diatement que, pour une hauteur x, d’apr\u00e8s l’\u00e9quation du profil, r = x2<\/sup>. Il vient alors :<\/p>\n
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. Puisque \u0394<\/span>V = 5, on obtient au final\u00a0:<\/p>\n<\/p>\n
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. Les coefficients p, q et r valent\u00a0:<\/p>\n<\/p>\n
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