{"id":7,"date":"2013-03-17T01:32:22","date_gmt":"2013-03-17T00:32:22","guid":{"rendered":"http:\/\/www.lovemaths.fr\/blog\/?p=7"},"modified":"2013-03-17T22:05:26","modified_gmt":"2013-03-17T21:05:26","slug":"le-theoreme-des-valeurs-intermediaires-revisite","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.lovemaths.fr\/blog\/?p=7","title":{"rendered":"Le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires revisit\u00e9"},"content":{"rendered":"

Le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires est d\u2019une grande importance en analyse. Il permet notamment de montrer qu\u2019une \u00e9quation poss\u00e8de des solutions m\u00eame s\u2019il est impossible de les expliciter. Un des formes du th\u00e9or\u00e8me dit que \u00ab\u00a0si une fonction f est d\u00e9finie et continue sur [a;b] alors pour tout r\u00e9el c appartenant \u00e0 [f(a)\u00a0;f(b)], l\u2019\u00e9quation f(x) = c poss\u00e8de au moins une solution\u00a0\u00bb. \u00a0Le th\u00e9or\u00e8me tire son nom du fait qu\u2019il montre que toutes les valeurs interm\u00e9diaires c dans [f(a);f(b)] sont \u00ab\u00a0atteintes\u00a0\u00bb en balayant [a;b].<\/p>\n

Le th\u00e9or\u00e8me de Bolzano en propose une forme simplifi\u00e9e. Il nous dit que \u00ab\u00a0si f(a) et f(b) sont de signe oppos\u00e9, autrement dit si f(a)f(b) < 0, alors l\u2019\u00e9quation f(x) = 0 poss\u00e8de au moins une solution\u00a0\u00bb (c, qui vaut 0 dans ce cas particulier, appartient bien \u00e0 [f(a)\u00a0;f(b)]).<\/p>\n

La force du th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires et de celui de Bolzano r\u00e9side dans le fait que les conditions qu\u2019ils imposent sont applicables \u00e0 toutes les fonctions usuelles, qui sont continues sur au moins des sous-intervalles de leur ensemble de d\u00e9finition.<\/p>\n

\"f<\/a><\/p>\n

Ces deux th\u00e9or\u00e8mes s\u2019illustrent ais\u00e9ment gr\u00e2ce aux repr\u00e9sentations graphiques. Consid\u00e9rons par exemple la fonction f\u00a0: x\u21a6ex<\/sup>-x2<\/sup>-x-1, repr\u00e9sent\u00e9e ci-contre. Il est ais\u00e9 de montrer qu\u2019elle est d\u00e9finie et continue sur [-1\u00a0;2] et que f(-1)f(2) < 0. Par cons\u00e9quent, l\u2019\u00e9quation ex<\/sup>-x2<\/sup>-x-1 = 0 admettra au moins une solution sur [-1\u00a0;2]. En pratique, comme le laisse supposer la courbe, elle en admettra deux\u00a0: 0 (solution \u00e9vidente) et une seconde qu\u2019il n\u2019est pas possible d\u2019expliciter.<\/p>\n

Afin de d\u00e9montrer l\u2019existence d\u2019une solution unique sur un intervalle donn\u00e9, il faut rajouter une condition suppl\u00e9mentaire au th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, connue sous le nom de corollaire\u00a0: \u00ab\u00a0si la fonction est en plus strictement<\/span> monotone sur [a;b] (c\u2019est-\u00e0-dire strictement croissante ou strictement d\u00e9croissante) alors l\u2019\u00e9quation f(x) = c, ou f(x) = 0, admet une unique<\/span> solution\u00a0\u00bb. On peut par exemple appliquer ce corollaire \u00e0 notre fonction f: x\u21a6ex<\/sup>-x2<\/sup>-x-1 sur l\u2019intervalle [3\/2;2].<\/p>\n

\"func\"<\/a>Le tableau de variations ci-contre nous montre en effet que la fonction f est strictement croissante sur [3\/2;2] et la calculatrice donne facilement f(3\/2) < 0 et f(2) > 0. Par cons\u00e9quent, l\u2019\u00e9quation f(x) = 0 admet une solution unique sur [3\/2;2].<\/p>\n

Par la suite, il est possible de resserrer cet intervalle en calculant par exemple f(7\/4), \u00a07\/4 \u00e9tant le milieu de l\u2019intervalle [3\/2;2]. La calculatrice nous dit que f(7\/4)\u00a0\u2243 -0,058 < 0 donc la solution, que l\u2019on note souvent \u03b1, est telle que 7\/4 < \u03b1 < 2. En r\u00e9p\u00e9tant cette m\u00e9thode, appel\u00e9e dichotomie, autant de fois que n\u00e9cessaire, il est possible d\u2019approcher \u03b1 avec la pr\u00e9cision souhait\u00e9e. En pratique on programme l\u2019algorithme de la dichotomie, assez fastidieuse \u00e0 faire \u00e0 la main, sur une calculatrice ou un ordinateur ce qui donne un r\u00e9sultat avec plusieurs chiffres apr\u00e8s la virgule en une fraction de seconde. Il existe d\u2019autres m\u00e9thodes plus \u00e9labor\u00e9es qui convergent plus rapidement (c\u2019est-\u00e0-dire qui ont besoin de moins de calculs pour la m\u00eame pr\u00e9cision) comme\u00a0la m\u00e9thode de la tangente de Newton. Celle-ci pourra faire l\u2019objet d\u2019un prochain billet\u00a0!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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