Des entomologistes ont d\u00e9couvert r\u00e9cemment une nouvelle esp\u00e8ce de fourmis dans la jungle tanzanienne. Elles ont pour particularit\u00e9 de construire dans un coin de leur fourmili\u00e8re des r\u00e9servoirs sph\u00e9riques qu’elles remplissent de lait de coco. Intrigu\u00e9s, les chercheurs d\u00e9cid\u00e8rent d’installer une fourmili\u00e8re dans leur labo afin de mieux \u00e9tudier le travail de la colonie. Ils commenc\u00e8rent par mesurer les fameux r\u00e9servoirs pour s’apercevoir que ceux-ci \u00e9taient non seulement d’une sph\u00e9ricit\u00e9 parfaite mais avaient \u00e9galement tous un diam\u00e8tre \u00e0 l’identique, de 20 cm, soit plusieurs fois la taille moyenne des insectes.<\/p>\n
Un calcul rapide leur apprit que le volume de lait pouvant \u00eatre stock\u00e9 dans un tel r\u00e9servoir \u00e9tait de :
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Des observations attentives leur montr\u00e8rent qu’une fois remplie, la r\u00e9serve de lait \u00e9tait Pour d\u00e9terminer la hauteur correspondant \u00e0 un volume restant de 200 cm3<\/sup>, les fourmis tanzaniennes sont donc amen\u00e9es \u00e0 r\u00e9soudre l’\u00e9quation\u00a0:<\/p>\n ou encore\u00a0:<\/p>\n Autrement dit, elles se retrouvent confront\u00e9es \u00e0 une \u00e9quation du troisi\u00e8me degr\u00e9, \u00e0 savoir ax3<\/sup> + bx2<\/sup> + cx + d = 0 avec\u00a0:<\/p>\n Comment s’y prennent-elles pour la r\u00e9soudre\u00a0? Elles se basent probablement sur la m\u00e9thode de Tartaglia-Cardan. Que nous dit-elle\u00a0? Partant de ax3<\/sup> + bx2<\/sup> + cx + d = 0, elle requiert d’abord de poser\u00a0:<\/p>\n On peut v\u00e9rifier ais\u00e9ment que l’\u00e9quation initiale devient alors z3<\/sup> + pz + q = 0.<\/p>\n La m\u00e9thode de Tartaglia-Cardan nous enseigne qu’il faut ensuite calculer le discriminant \u0394<\/span> = -(4p3<\/sup> + 27q2<\/sup>) et distinguer trois cas\u00a0:<\/p>\n 1<\/span>er<\/span><\/sup> cas<\/span>\u00a0: \u0394 < 0<\/span><\/p>\n L’\u00e9quation admet une solution r\u00e9elle not\u00e9e z<\/span>0<\/span><\/sub> et deux solutions imaginaires z<\/span>1<\/span><\/sub> et z<\/span>2<\/span><\/sub>\u00a0:<\/span><\/p>\n 2<\/span><\/span>\u00e8me<\/span><\/sup> cas<\/span>\u00a0: \u0394 = 0<\/span><\/p>\n L’\u00e9quation admet deux solutions r\u00e9elles\u00a0:<\/p>\n 3<\/span><\/span>\u00e8me<\/span><\/sup> cas<\/span>\u00a0: \u0394 > 0<\/span><\/p>\n L’\u00e9quation admet trois solutions r\u00e9elles\u00a0:<\/p>\n Si nous appliquons maintenant cette m\u00e9thode \u00e0 l’\u00e9quation de nos amies les fourmis, nous obtenons ax3<\/sup> + bx2<\/sup> + cx + d = 0 avec :<\/p>\n Donc\u00a0:<\/p>\n Soit\u00a0:<\/p>\n Le discriminant vaut\u00a0:<\/p>\n Il est donc strictement positif. Nous nous retrouvons dans le cas des trois solutions r\u00e9elles\u00a0:<\/p>\n Il ne reste plus qu’\u00e0 remonter jusqu’\u00e0 l’expression de x\u00a0:<\/p>\n La calculatrice nous donne\u00a0: x0<\/sub> \u2248<\/span> 29,78 cm, x1<\/sub> \u2248<\/span> -2,24 cm et x2<\/sub> \u2248<\/span> 2,64 cm.<\/p>\n Seule la derni\u00e8re solution correspond \u00e0 un cas r\u00e9el. Les entomologistes arriv\u00e8rent donc \u00e0 la conclusion que les fourmis s’empressent de remplir le r\u00e9servoir lorsque son contenu atteint la limite des 2,64 cm. Pour rendre hommage \u00e0 leur ing\u00e9niosit\u00e9, ils baptis\u00e8rent cette nouvelle esp\u00e8ce du nom de Formicidae Tartaglia-Cardan<\/i>\u00a0!<\/p>\nfort logiquement ponctionn\u00e9e r\u00e9guli\u00e8rement par les ouvri\u00e8res pour les besoins de leurs cons\u0153urs, au moyen d’un micro-orifice proche du fond, qu’elles rebouchaient consciencieusement avec leurs mandibules apr\u00e8s usage. Mais quelle ne fut pas la surprise des scientifiques de voir au bout de quelques jours un groupe de fourmis s’accrocher les unes aux autres pour plonger au fond de chaque r\u00e9servoir (ils en avaient install\u00e9 des copies factices et transparentes au sein de la colonie pour faciliter l’\u00e9tude \u2013 les fourmis n’y avaient vu que du feu). En s’agrippant \u00e0 deux cong\u00e9n\u00e8res, chacune participait \u00e0 la construction une \u00e9chelle d’une dizaine d’individus, permettant au dernier \u00e9l\u00e9ment d’atteindre avec ses antennes la surface du liquide. Le ph\u00e9nom\u00e8ne se reproduisait tous les trois \u00e0 quatre jours, la petite escouade se s\u00e9parant pour vaquer \u00e0 d’autres occupations d\u00e8s la derni\u00e8re des sph\u00e8res inspect\u00e9e. Mais, au bout d’environ deux semaines, le contr\u00f4le de l’une des sph\u00e8res se termina par le remplissage express de celle-ci par le groupe des inspectrices avant le passage \u00e0 la suivante. Estomaqu\u00e9s, les chercheurs concentr\u00e8rent toute leur attention sur ce comportement hors-norme. Apr\u00e8s moult observations et exp\u00e9rimentations, ils en arriv\u00e8rent \u00e0 la conclusion que le r\u00e9flexe de remplissage se produisait toujours lorsque le contenu de la sph\u00e8re atteignait 200 cm3<\/sup>, avec une marge d’erreur de 0,1 mm3<\/sup>.<\/p>\n
Nos entomologistes, fort \u00e9rudits en math\u00e9matiques par ailleurs, mod\u00e9lis\u00e8rent donc la sph\u00e8re-r\u00e9servoir par le sch\u00e9ma ci-contre, la dotant d’un axe vertical ayant pour origine son p\u00f4le Sud. Ils not\u00e8rent h la hauteur du lait restant, R le rayon de la sph\u00e8re et r le rayon du disque form\u00e9 par la surface du liquide. Le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore leur donna imm\u00e9diatement la relation R2<\/sup> = r2<\/sup> + (R-h)2<\/sup> soit encore r2<\/sup> = R2<\/sup> \u2013 (R-h)2<\/sup>. En consid\u00e9rant ensuite le volume infinit\u00e9simal dv = \u03c0r<\/span>2<\/span><\/sup>dx, ils purent calculer le volume de lait de coco en fonction de sa hauteur h\u00a0:<\/span><\/span><\/p>\n
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