{"id":59,"date":"2013-08-07T16:29:40","date_gmt":"2013-08-07T15:29:40","guid":{"rendered":"http:\/\/www.lovemaths.fr\/blog\/?p=59"},"modified":"2013-08-13T15:22:13","modified_gmt":"2013-08-13T14:22:13","slug":"equations-du-second-degre-a-coefficients-reels","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.lovemaths.fr\/blog\/?p=59","title":{"rendered":"\u00c9quations du second degr\u00e9 \u00e0 coefficients r\u00e9els"},"content":{"rendered":"

Les math\u00e9maticiens se sont depuis longtemps int\u00e9ress\u00e9s aux \u00e9quations du second degr\u00e9, c’est-\u00e0-dire dont le terme de plus haut degr\u00e9 contient x2 <\/sup>(en utilisant les notations modernes usuelles). Ainsi, les premiers textes connus y faisant r\u00e9f\u00e9rence datent de deux mille ann\u00e9es avant notre \u00e8re, du temps des Babyloniens. C’est ensuite Al-Khwarizmi, au IXe<\/sup> si\u00e8cle, qui \u00e9tablit les formules permettant la r\u00e9solution syst\u00e9matique de ces \u00e9quations (on pourra se r\u00e9f\u00e9rer aux liens donn\u00e9s en fin de billet pour l’aspect historique).<\/p>\n

La r\u00e9solution \u00ab\u00a0moderne\u00a0\u00bb des \u00e9quations du second degr\u00e9 s’appuie sur la forme canonique des trin\u00f4mes du second degr\u00e9. Ainsi, si l’on consid\u00e8re l\u2019\u00e9quation x2 <\/sup>+ 2x – 3 = 0 , le trin\u00f4me x2 <\/sup>+ 2x \u2013 3 \u00ab\u00a0ressemble\u00a0\u00bb \u00e0 un d\u00e9but d’identit\u00e9 remarquable. En effet, on peut \u00e9crire\u00a0:<\/p>\n

x2 <\/sup>+ 2x \u2013 3
\n= x2 <\/sup>+ 2x + 1 – 1 – 3
\n= x2 <\/sup>+ 2x + 1 – 4
\n= (x+1)2 <\/sup>– 4, en reconnaissant une identit\u00e9 remarquable du premier type\u00a0:
\n= (x+1)2 <\/sup>– 22 <\/sup> qui est la forme canonique
\n= (x + 1 + 2)(x + 1 \u2013 2), en reconnaissant cette fois une identit\u00e9 remarquable du troisi\u00e8me type\u00a0: a2<\/sup> \u2013 b2<\/sup> = (a+b)(a-b)
\n= (x + 3)(x – 1)<\/p>\n

Et arriv\u00e9 ici, nous avons gagn\u00e9 \":-)\". En effet, en reportant le trin\u00f4me factoris\u00e9 dans notre \u00e9quation initiale, on obtient (x + 3)(x \u2013 1) = 0.<\/p>\n

Or on sait qu’un produit de termes est nul si et seulement l’un au moins des termes est nul (ceci traduit le fait que z\u00e9ro, en plus de d\u00e9signer accessoirement quelqu’un que l’on ne tient pas en haute consid\u00e9ration, est l’\u00e9l\u00e9ment absorbant de la multiplication). On aboutit donc au syst\u00e8me\u00a0:
\n\"\"
\nsoit encore
\n\"\"<\/p>\n

Les deux solutions sont donc -3 et 1 (Youpi !)<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

On peut conforter notre r\u00e9sultat en tra\u00e7ant la repr\u00e9sentation graphique de la fonction f(x) = x2 <\/sup>+ 2x \u2013 3. On peut ainsi voir que la courbe obtenue (une parabole) coupe l’axe des abscisses en deux points qui semblent avoir pour abscisse x = -3 et x = 1 (il ne s’agit bien \u00e9videmment pas d’une preuve mais plus d’un moyen de nous rassurer dans notre raisonnement, qui lui est parfaitement rigoureux).<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

En continuant \u00e0 raisonner sur les courbes, on peut consid\u00e9rer celle ci-contre. On voit ici que la parabole ne franchit jamais l’axe des abscisses. Donc, a priori, l’\u00e9quation correspondante ne devrait pas avoir de solutions. En effet, l’\u00e9quation est ici x2 <\/sup>+ 2x + 3 = 0. En r\u00e9it\u00e9rant la m\u00e9thode pr\u00e9c\u00e9dente, on obtient\u00a0:
\nx2 <\/sup>+ 2x + 3
\n= x2 <\/sup>+ 2x +1 – 1 + 3
\n= (x+1)2 <\/sup>+ 2<\/p>\n

Il n’est plus possible de factoriser plus avant puisque nous ne retrouvons plus d’identit\u00e9 remarquable\u00a0! En fait, nous nous retrouvons face \u00e0 deux termes positifs\u00a0: (x+1)2<\/sup> qui est un carr\u00e9 (et donc positif) et 2 qui est strictement positif. La somme de ces deux termes est toujours strictement positive et donc ne s’annule jamais. Pas de solution\u00a0!<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Il nous reste \u00e0 couvrir un dernier cas\u00a0: celui o\u00f9 la parabole \u00ab\u00a0affleure\u00a0\u00bb\u00a0 l’axe des abscisses (le coupe en un seul point). Il correspond \u00e0 l’\u00e9quation x2-<\/sup>+2x+1 = 0 dont le membre de gauche est directement une identit\u00e9 remarquable\u00a0; elle se transforme donc en (x+1)2<\/sup> = 0 et la solution est x = -1 (on parle parfois de \u00ab\u00a0solution double\u00a0\u00bb).<\/p>\n

Nous sommes maintenant par\u00e9s pour aborder le probl\u00e8me des \u00e9quations du second degr\u00e9 dans sa forme la plus g\u00e9n\u00e9rale, c’est-\u00e0-dire en partant du trin\u00f4me ax2<\/sup> + bx + c, en consid\u00e9rant a non nul (pour bien avoir affaire \u00e0 une expression de degr\u00e9 deux). Nous allons proc\u00e9der comme pr\u00e9c\u00e9demment, c’est-\u00e0-dire en cherchant \u00e0 mettre en \u00e9vidence une identit\u00e9 remarquable, et pour cela, on commence par mettre a en facteur\u00a0:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Pour pouvoir continuer, il faut supposer que\u00a0b2<\/sup> -4ac \u2a7e 0. Dans ce cas en effet, l’identit\u00e9 remarquable du troisi\u00e8me type qui est mise en \u00e9vidence nous conduit \u00e0\u00a0:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Il faut donc consid\u00e9rer le cas a > 0 conduisant \u00e0 \u221aa2 <\/sup> = a et celui o\u00f9 a < 0 donnant \u221aa2 <\/sup> = -a . On voit ais\u00e9ment que les deux cas aboutissent au m\u00eame r\u00e9sultat\u00a0:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

L’\u00e9quation est alors \"\" et les solutions sont\u00a0:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Ces solutions sont valables sous l’hypoth\u00e8se que nous avions faite, \u00e0 savoir b2<\/sup> \u2013 4ac \u2a7e 0 . Dans le cas particulier b2<\/sup> \u2013 4ac = 0, les solutions se simplifient en\u00a0:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

c’est-\u00e0-dire une seule\u00a0: c’est le cas o\u00f9 la parabole coupait l’axe des abscisses en un seul point.<\/p>\n

Nous sommes presque au bout de nos peines\u00a0: il nous reste \u00e0 consid\u00e9rer le cas b2<\/sup> \u2013 4ac < 0. Comme on peut le pressentir, il n’y a alors pas de solution. En effet, dans \"\", le terme \"\" est alors strictement positif, ne laissant aucune possibilit\u00e9 de mettre en \u00e9vidence une identit\u00e9 remarquable.<\/p>\n

En r\u00e9sum\u00e9, et en notant \u2206 = b2<\/sup> \u2013 4ac (on appelle \u2206 le discriminant, car il permet de \u00ab\u00a0discriminer\u00a0\u00bb\u00a0 les diff\u00e9rents r\u00e9sultats possibles)\u00a0:<\/p>\n

Si \u2206 > 0, l’\u00e9quation admet deux solutions qui sont\u00a0:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Si \u2206 = 0, une solution double existe\u00a0: \"\"<\/p>\n

Et si \u2206 < 0, il n’y a pas de solution r\u00e9elle (nous ne couvrirons pas ici le cas des solutions imaginaires).<\/p>\n

On retrouve bien les trois cas que nous avions mis en \u00e9vidence dans nos exemples au d\u00e9but de ce billet.<\/p>\n

Nous avons donc retrouv\u00e9 les solutions d’Al-Khwarizmi avec une m\u00e9thode un peu plus rapide (car plus condens\u00e9e) que la sienne (voir \u00e0 ce sujet l’article de Wikipedia). Mais il faut aussi dire \u00e0 sa d\u00e9charge que nous arrivons avec douze si\u00e8cles de retard\u00a0!<\/p>\n

R\u00e9f\u00e9rences (pour la partie historique)\u00a0:
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9#Historique
\nhttp:\/\/www.lyc-privat.ac-aix-marseille.fr\/spip\/IMG\/pdf\/histoiredesequations.pdf<\/a><\/span><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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